建模思想融入高中数学教学的探究

《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》提出，要培养学生包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析在内的六大核心素养。由此可见，高中数学教学要树立以发展学生核心素养为导向的意识，着力创设有利于培养学生核心素养的情境。

数学建模是对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题，培养学生以数学的视角发现问题、提出问题、分析问题，建立模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建模搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。通过高中数学课程的学习，学生能有意识地运用数学语言，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践经验，认识到数学建模能够解决科学、社会、工程技术等问题，加深对数学内容的理解。

新课程标准在对数学建模内容的设置说明中指出，高中数学课程要求把数学建模思想以不同的形式渗透到每个模块和专题内容中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学建模活动。这意味着课程标准对建模流程的要求是灵活的。“数学建模”专题要求学生“对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法”。这意味着问题是开放的。问题来自“学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面”，教材在“函数模型及其应用”中列举了3～6个不等的案例。这意味着问题的来源是多样的。基于以上分析，为了更好地体现“把建模思想贯穿在各部分教学内容中”，我们对教科书（人教Ｂ版数学必修1～5）中的建模内容进行了讨论。

通过对教材建模内容进行分析，可以发现，教材提及了“模型”、“数学模型”、“函数模型”等词语，在章节的引言部分论及模型，在介绍具体函数时联系模型，不仅讨论了特定函数作为模型在解决实际问题中的应用，还把模型作为引出新概念的工具，如函数概念的引出。

必修1-2.3函数的应用（I），是“举例说明一次和二次函数模型的应用”，尤其例４，是一个“建立函数数学模型的例子”；必修1-3.4函数的应用（II）“ 指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中有广泛的应用”，其后是一个“如何建立数学模型”的探索与研究。必修4在第一章三角函数的学习后，出现了“数学建模活动”的提法。至此，数学建模终于浮出水面，以概念的形式呈现在大家面前。纵观必修1～5全套教材，教材的不同地方都提及“模型”、“数学模型”、“函数模型”，但都没有进行定义或解释，只对“数学建模”、“数学建模过程”进行定义或解释，并把“数学建模过程”的框图放入教材中，体现了课程标准“不单独开设，渗透在每个模块或专题中”的贯穿、渗透思想。

数学建模是从实际问题中抽象、提炼出来的，需要学生掌握常见的数学模型。人教Ｂ版数学必修1～5主要有以下几种数学模型：

１.二次函数模型。这类问题要充分利用二次函数的结论和性质，建立关系求解。

２.分段函数模型。这类函数模型的题目会有明显的印迹，比较容易判断，学生可以根据题中所给条件，写出取值范围不同的相应的函数关系。

３.三角函数模型。三角函数模型常与物理知识中的电压、电流、简谐振动等知识结合起来出题。实际问题要用三角函数的性质来解决。

４.指数、对数函数模型。学生在解决这类问题时，需要掌握函数底数０<ａ<１、ａ>１两种情况下函数的性质，特别是单调性和值域的差别。

５.数列模型。数列模型涉及实际应用的问题广泛而多样，诸如银行信贷、生产产品的增长率、分期付款等题型，考查的概率很大。学生在解决实际问题时，应该认准问题是等差数列还是等比数列，要深刻理解问题的实际背景和语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学问题，使关系明朗化、标准化，以便建立正确的关系，用等差数列、等比数列知识求解。

数学应用问题形式多样，解法灵活，所以在解决数学实际问题时要通过观察、分析将问题抽象出来，再纳入某种数学模型中去处理。这就要求教师在平时的教学中注重培养学生的分析观察、画图、列表、归类及快速阅读理解、整理数据的能力；正确选择自变量，建立函数模型的能力；能根据函数性质、图像的作用，抓住某些变量之间的相等关系列出函数式，求解函数模型。

强调数学应用已成为当今各国课程内容改革的共同特点。美国提出了“用数学服务于现实世界”的口号。近年来，我国对数学应用给予高度重视。中学数学教学也开始进行建模教学的探索，在北京、上海等地每年还开展中学生数学建模竞赛，学生运用数学建模的能力、数学素养逐步得到提高。当然，这种能力的获得需要一个漫长的过程，需要教师在教学中有意识地把数学建模的思想方法贯穿于教学的始终。要不断引导学生用数学思维去观察、分析，表达各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，用数学模型来解决实际问题，有意识地使用数学建模思考问题、解决问题。